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 题目

Problem Description

有如下方程：A

_i = ( A

_i-1 + A

_i+1 ) / 2 - C

_i( i = 1, 2, 3, ..., n ).

若给出A

₀, A

_n+1和 C

₁, C

₂, ..., C

_n。

请编程计算A

₁ = ？

 

Input

输入包括多个测试实例。

对于每个实例，首先是一个正整数n( n <= 3000 )；然后是2个数a

₀, a

_n+1；接下来的n行每行有一个数c

_i( i = 1, ...., n )；输入以文件结束符结束。

 

Output

对于每个测试实例，用一行输出所求得的a

₁（保留2位小数）。

 

Sample Input

150.00 25.00 10.00250.00 25.00 10.00 20.00

 

Sample Output

27.5015.00

 

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题解

　　本题完全是一道数学题……推论过程如下：

　　下证A₁ = ( nA₀ + A_n+1 - 2( nC₁ + ( n - 1 )C₂ + ( n - 2 )C₃ + ... + C_n ) ) / ( n + 1 )：

　　由题中条件

　　A_i = ( A_i-1 + A_i+1 ) / 2 - C_i

 

　　化简得

　　2A_i = A_i-1 + A_i+1 - 2C_i

 

　　即

　　A₁ + A₁ =  A₀ + A₂ - 2C1

　　A₂ + A₂ =  A₁ + A₃ - 2C2

　　A₃ + A₃ =  A₂ + A₄ - 2C3

　　...

　　A_n + A_n = A_n-1 + A_n+1 - 2C_n

 

　　左右求和错位相消得

　　A₁ + A_n =  A₀ + A_n+1 - 2( ∑_( i = 1 )^n [C_i] )

 

　　即

　　A₁ + A₁ =  A₀ + A₂ - 2( C₁ )

　　A₁ + A₂ =  A₀ + A₃ - 2( C₁ + C₂ )

　　A₁ + A₃ =  A₀ + A₄ - 2( C₁ + C₂ + C₃ )

　　...

　　A₁ + A_n =  A₀ + A_n+1 - 2( C₁ + C₂+ C₃ + ... + C_n )

 

　　左右求和错位相消得

　　( n + 1 )A₁ = nA₀ + A_n+1 - 2( ∑_( i = 1 )^n [( n - i + 1 )C_i] )

　　即

　　( n + 1 )A₁ = nA₀ + A_n+1 - 2( nC₁ + ( n - 1 )C₂ + ( n - 2 )C₃ + ... + C_n )

 

　　求得

　　A₁ = ( nA₀ + A_n+1 - 2( nC₁ + ( n - 1 )C₂ + ( n - 2 )C₃ + ... + C_n ) ) / ( n + 1 )

 

　　证毕！

　　然后用程序计算得出答案即可。 

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代码

#include 
     
      #include 
      
       using namespace std;int n;double a_0,a_n;double c[5005];int main(){    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        scanf("%lf%lf",&a_0,&a_n);        for(int i=1;i<=n;i++)            scanf("%lf",&c[i]);        double ans=0;        for(int i=1;i<=n;i++)            ans=ans+(n-i+1)*c[i];        ans=(n*a_0+a_n-2*ans)/(n+1);        printf("%.2lf\n",ans);    }    return 0;}